Беляев К.Р. Учебное пособие по выполнению лабораторного практикума по курсу
“Анализ и преобразование биомедицинских сигналов”
Небольшие случайные колебания длительности сердечного цикла (называемые также аритмия, ВРС– вариабельность ритма сердца, HRV– heart rate variability) в норме наблюдаются как у человека, так и у животных. Эти колебания вызваны сложным взаимодействием гемодинамических, электрофизиологических и химических процессов, происходящих в организме. В норме амплитуда колебаний составляет 5¸ 10% от длительности кардиоцикла и зависит от времени суток и состояния пациента. В настоящее время установлено, что анализ ВРС позволяет провести раннюю диагностику патологического состояния плода, обнаружить вегетативную невропатию у больных диабетом, оценить риск летального исхода инфаркта миокарда и т.д. Уменьшение степени ВРС у здорового человека рассматривают как признак напряженного состояния регуляторных процессов (стресса). Ритм сердца определяется свойством специализированных клеток проводящей системы сердца спонтанно активироваться, так называемым свойством сердечного автоматизма. Регуляция сердечного ритма осуществляется вегетативной нервной системой, центральной нервной системой и рядом гуморальных и рефлекторных воздействий. Ритмические сокращения сердца возникают под действием импульсов, зарождающихся в нем самом. Это свойство называется автоматизмом. В нормальных условиях процессы спонтанной диастолической деполяризации, определяющие свойства автоматизма, наиболее быстро протекают в синусовом узле, который и задает ритм сердца. Обычная частота синусового импульсообразования – 60…100 импульсов в минуту, однако она может изменяться под влиянием медиаторов вегетативной нервной системы. В ритмической деятельности синусового узла выделяют синусовую тахикардию, брадикардию, нормокардию и аритмию. При синусовой тахикардии частота сердечных сокращений (ЧСС) превышает 90 ударов в минуту у взрослых и 160 ударов в минуту у детей. Причинами синусовой тахикардии может быть физическое или эмоциональное напряжение, воздействие медикаментозных препаратов и т.д. Синусовая брадикардия с частотой ритма менее 60 ударов в минуту может возникнуть в ответ на психогенные воздействия вследствие страха или боли. Синусовая брадикардия развивается также во время сна, у тренированных спортсменов, у лиц физического труда, при патологиях мозга, инфекционных заболеваниях и др. Синусовая аритмия устанавливается при различии между самым коротким и самым длинным интервалами сердечных сокращений в 0,15–0,16 секунд. Выделяют циклическую синусовую аритмию, связанную с актом дыхания, и синусовую недыхательную, нециклическую аритмию, которая может быть вызвана сердечной патологией, повышением внутричерепного давления, плевроперикардиальными спайками, гликозидами. Первым уровнем системы регуляции работы сердца является механизм внутрисердечного регулирования. Он связан с особыми свойствами самого миокарда и действует даже в условиях изолированного сердца по закону Франка-Старлинга: изолированное сердце при постоянной частоте сокращений может самостоятельно приспосабливать свою деятельность к возрастающей нагрузке, отвечая на нее увеличенным выбросом. Этот механизм включается при перемене положения тела, сопровождающейся изменением венозного возврата крови, остром увеличении объема циркулирующей крови (при переливаниях крови) и повышении периферического сопротивления. Экстракардиальные уровни регуляции работы обеспечиваются вегетативной и эндокринной системами. По скорости развития адаптивных процессов и их продолжительности механизмы регуляции сердечно-сосудистой системы делят на:
Так как сердце обладает собственным автоматизмом, то влияние вегетативной нервной системы (ВНС) на ритм сердца является модулирующим, а не управляющим. Сердце иннервируется как симпатическими, так и парасимпатическими отделами ВНС. Симпатические воздействия обычно приводят к повышению ритма сердца, парасимпатические – к его понижению. Более подробно вопросы иннервации сердца изложены в [1]. Афферентная (чувствительная, центростремительная) иннервация сердца осуществляется в основном миелинизированными волокнами, идущими в составе блуждающего нерва. Эти волокна начинаются в предсердиях и желудочках чувствительными окончаниями, реагирующими на активное напряжение (a -рецепторы) или пассивное растяжение (b -рецепторы). a -рецепторы возбуждаются при сокращении предсердий, а b -рецепторы в конце систолы желудочков. Возбуждение b -рецепторов предсердий приводит к торможению симпатического и активации парасимпатического отделов продолговатого мозга. Сигналы от a -рецепторов, наоборот, ведут к повышению симпатического тонуса. Другим типом афферентных систем, активно участвующих в регуляции ритма сердца, являются баро- и хеморецепторы. Барорецепторы расположены в стенках крупных внутригрудных и шейных артерий (область дуги аорты и каротидного синуса), а хеморецепторы - в аортальных (дуга аорты) и синокаротидных (разветвление общей сонной артерии) тельцах. Реакция на раздражение барорецепторов заключается в изменении ритма сердца и тонуса кровеносных сосудов таким образом, чтобы компенсировать изменение внутрисосудистого давления. Одним из проявлений барорефлекторной реакции является влияние фаз дыхания на частоту сокращений сердца: вдох сопровождается понижением давления в каротидном синусе и ускорением ритма, выдох – замедлением ритма. К хеморецепторным механизмам воздействия на сердечно-сосудистый центр можно отнести гуморальные изменения крови и геморецепторный рефлекс. Повышение парциального давления углекислого газа, понижение парциального давления кислорода и ацидоз приводят к повышению ритма сердца, обратные явления – к его понижению. Медиатором симпатического нерва является норадреналин, взаимодействие которого с клетками сердца (кардиоцитами) ведет к повышению ЧСС. Воздействие может осуществляться либо непосредственно (через волокна, иннервирующие сердце), либо посредством катехоламинов (адреналина, норадреналина), выделяющихся в кровь из мозгового слоя надпочечников. Латентный период развития реакции на симпатические воздействия составляет 1-3 с, но для окончательного достижения новой ЧСС требуется 30-60 с. Так же медленно происходит и возврат к прежней ЧСС. В целом можно сказать, что симпатические влияния на сердце реализуются относительно медленно, но они относительно стойки и генерализованы. Парасимпатическая иннервация осуществляется блуждающим нервом. Медиатором блуждающего нерва является ацетилхолин (АХ). Латентный период реакции на раздражение блуждающего нерва значительно короче симпатического – 200 мс, а постоянный уровень ЧСС достигается быстро – через несколько сердечных циклов. Восстановление ЧСС после прекращения стимуляции происходит в течение 15…20 с, что объясняется быстрой гидролизацией АХ в синусовом узле. Влияние блуждающего нерва на клетки синусового узла зависит от силы раздражения: при сильном — возникает эффект торможения, а при слабом — “парадоксальный эффект” (увеличение ЧСС). В целом, парасимпатические влияния характеризуются относительно быстрым эффектом и относительно скорым возвращением ЧСС к исходному уровню, а также большей избирательностью действия. Постоянное взаимодействие симпатических и парасимпатических влияний происходит на всех уровнях сегментарного отдела вегетативной нервной системы, однако оно не является простой суммой тормозящих и ускоряющих воздействий: при различной степени активности одного из отделов эффект другого отдела также будет различен. Такой тип взаимодействия принято называть “функциональной синергией”. В нормальных условиях симпатическая и парасимпатическая системы постоянно находятся в динамическом взаимодействии, согласованно регулируя работу сердца для достижения полезного приспособительного результата. При функциональном рассогласовании данных отделов, принято говорить о внутрисистемной и/или межсистемной дезинтеграции .
Анализ вариабельности ритма сердца состоит в оценке тем или иным способом изменчивости длительности последовательных кардиоциклов на выбранном промежутке времени. Длительность кардиоциклов можно определить, например, по сигналу ЭКГ. Для этого выбирается характерная, хорошо различимая точка (R-зубец, максимум производной и т.п.), и определяется расстояние между этими точками для последовательных кардиоциклов (Рис. 1). Поскольку наиболее часто для этой цели используют R-зубец на ЭКГ, то полученные данные также называют RR интервалами. В работе [ 9] было показано, что местоположение выбранной точки должно определяться с точностью не хуже 0.01 с, иначе результаты анализа будут искажены.Последовательность RR интервалов называют ритмограммой. Ритмограмма является типичным дискретным сигналом: она существует только в определенные моменты времени, принимая произвольные значения по амплитуде. Расстояние между отсчетами ритмограммы является неравномерным по времени, поэтому в некоторых методиках ритмограмма интерполируется и передискретизируется с равномерным шагом. На практике результаты расчетов диагностических параметров в обоих случаях совпадают с точностью до случайной погрешности, однако данная процедура вносит дополнительную систематическую ошибку, связанную с выбором метода интерполяции. В идеале анализ вариабельности ритма сердца должен проводиться на не зашумленных участках ЭКГ, при синусовом ритме и отсутствии аритмий. В реальных условиях получить такие участки необходимой длины довольно сложно. Поэтому проводят предобработку ритмограммы, в ходе которой удаляют из рассмотрения участки, соответствующие нарушениям ритма, шумам и артефактам на ЭКГ. Иногда в ходе предобработки проводится коррекция ритмограммы, заключающаяся в удалении из нее одного или нескольких отсчетов, не характерных для рассматриваемого участка, и постановки на их место усредненных (или интерполированных) значений. Как правило, подобной процедуре подвергается пара, состоящая из короткого интервала RR (отвечающего экстрасистоле) и следующего за ним длинного интервала (Рис. 2). Разумеется, коррекция ритмограммы допустима лишь при определенных условиях. Так замена экстрасистол допустима если их не слишком много (не более 5% от общего количества интервалов) и на участке отсутствуют куплеты и пароксизмы тахикардии. В противном случае нарушения ритма становятся гемодинамически значимыми, меняют характер работы всей сердечно-сосудистой системы и искажают ритмографическую картину. В этом случае рассматриваемый участок просто признается негодным для дальнейшего анализа. Необходимо также помнить, что исключение участков записи и последующая “сшивка” соседних участков искажает ритмическую картину RR интервалов, что влияет на результаты спектрального анализа ритмограммы. Существуют два основных подхода к предобработке ритмограммы: выделение непригодных для анализа участков на стадии анализа ЭКГ и формирования ритмограммы, и предобработка сформированной ранее ритмограммы при помощи логического анализа величин интервалов RR. Первый подход более предпочтителен, т.к. для анализа может быль использована вся информация об ЭКГ, и не только об RR интервалах. В настоящее время существует много методов количественного анализа вариабельности ритма сердца. Их можно разбить на две основные группы: методы анализа во временной области (time domain) и методы анализа в частотной области (frequency domain). Все методы, как правило, базируются на результатах измерения RR интервалов между последовательными QRS комплексами нормального синусового ритма (так называемые NN–интервалы) и реализуются на отфильтрованных ритмограммах. Среди методов анализа во временной области можно выделить два направления: статистические методы, основанные на оценке различных статистических характеристик последовательности RR интервалов, и геометрические методы, заключающиеся в оценке формы и параметров гистограммы распределения RR интервалов. Распространен анализ как коротких (5–10 минут), так и длительных (сутки) участков ритмограммы. Спектральные методы применяются для выявления характерных периодов в динамике RR интервалов, оценки вклада тех или иных периодических составляющих в общую динамику изменения сердечного ритма. В этих методах анализируемый участок рассматривается как единое целое, поэтому требования к качеству исходной последовательности гораздо выше, чем для временных методов. Поскольку подходящие участки ритмограммы длительностью более 5 минут удается получить довольно редко, распространен анализ коротких (2–5 минут) записей. При проведении анализа необходимо рассматривать ритмограмму как одномерный случайный процесс. Основной характеристикой одномерного случайного процесса является его функция распределения F(x), определяемая как вероятность того, что случайная величина X имеет значение, меньшее чем x: F(x) = P(X < x). Функция распределения F(x) обладает следующими свойствами:
Функция распределения полностью характеризует случайную величину. Например, вероятность попадания Х в заданный интервал [a, b) определяется выражением: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a). Для непрерывной случайной величины (какой является длительность RR интервала) функцию распределения можно представить в следующем виде:  .
n-ый начальный момент случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины xn:  .На практике чаще используют центральные моменты, когда учитывается не абсолютное значение Х, а его отклонение от математического ожидания E[x]. В этом случае в предыдущей формуле xn заменяют на  . Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины Х и обозначают как
 .При анализе взаимосвязи нескольких случайных процессов (или нескольких копий одного процесса) {X1, X2, …, XN}, их совокупность необходимо рассматривать как N-мерный случайный вектор, который характеризуется N-мерной функцией распределения: F(x1, x2, …, xN) = P(X1 < x1, …, XN < xN). Соответственно N-мерная плотность распределения вектора {X1, …, XN} (или совместная плотность распределения величин X1, …, XN) f(t1, …, tN) определяется как:  При помощи совместной функции распределения вычисляют второй начальный момент случайных величин, называемый также коэффициентом корреляции:  Коэффициент ковариации является вторым центральным моментом:  Часто используют нормированный коэффициент ковариации, диапазон изменения которого от –1 до +1:  Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, необходимо сделать замечание, что по конечной выборке возможно произвести лишь оценку статистических параметров, достоверность которых оценивается по соответствующим статистическим критериям. Для более подробного ознакомления с характеристиками случайных величин и критериями оценки достоверности, рекомендуется обратиться к [3, 7].
Одним из важнейших вопросов при анализе случайных процессов является вопрос о стационарности, поскольку большинство методов анализа ориентировано именно на стационарные участки записи. Процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение не меняется во времени, а автокорреляционная функция (математическое ожидание произведения x(t1)× x(t2)) rxx(t1,t2)=E[x(t1)× x(t2)], зависит только от разности t = t2–t1. Это процессы, протекающие приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных колебаний вокруг некоторого среднего значения. На ритм сердца оказывают постоянное воздействие центральная и вегетативная нервные системы, насыщение крови кислородом и углекислым газом, различные рефлексы. Все эти влияния относят к стационарным влияниям на ритм сердца. В то же время, существуют преходящие факторы, связанные с функционированием системы кровообращения (например, при изменении положения тела). Эти изменения относят к нестационарным. Нестационарный или переходный процесс характеризуется тем, что имеет определенную тенденцию развития во времени, его характеристики зависят от времени. При проверке стационарности случайного процесса обычно поступают следующим образом: исходную последовательность разбивают на N непересекающихся участков, для каждого из участков вычисляют среднее и автокорреляционную функцию и проверяют статистическую гипотезу о равенстве вычисленных характеристик. Если гипотеза не отвергается, то участок сигнала считают стационарным. В математической статистике существует также понятие эргодичности. Стационарный процесс называют эргодическим, если при вычислении его статистических характеристик усреднение по ансамблю реализаций в фиксированный момент времени можно заменить усреднением по времени для одной реализации. Поскольку для одного пациента невозможно одновременно получить несколько реализаций ритмограммы, то принимается предположение об эргодичности её стационарных участков. Существуют два подхода к статистическому анализу ритмограммы: анализ абсолютных значений RR интервалов и анализ разностей между смежными RR интервалами. В обеих случаях результат получается сходным. Простейшими характеристиками ритмограммы являются средняя длительность RR-интервала, (связанная с частотой сердечных сокращений как ЧСС=60/    где N– количество RR-интервалов в записи (размер выборки).Замечание: при вычислении по конечной выборке SDRR получается смещенным, поэтому рекомендуется использовать  При 24-часовой записи часто используют SDARR –среднеквадратичное отклонение величин   Замечание : как и для величины SDRR, при конечных значениях N рекомендуется использовать несмещенные оценки асимметрии и эксцесса, вычисляемые по формулам:  При анализе разностей длительностей последовательных RR интервалов используют следующие показатели: NN50 count – количество последовательных пар RR интервалов, различающихся более чем на 50 мс;pNN50 (%) – процент NN50 от общего размера выборки;RMSSD – квадратный корень из суммы квадратов разностей последовательных RR интервалов;SDSD – стандартное отклонение разностей соседних RR интервалов.Следует отметить, что до сих пор не разработаны единые стандарты нормальных значений для вышеперечисленных показателей. Многие исследователи разрабатывают собственные критерии нормы и патологии (Таблица 1). Таблица 1 Диапазоны нормальных и патологических значений характеристик RR–интервалов (по Bigger, ИБС– ишемическая болезнь сердца, М– среднее значение параметра, SD– его среднеквадратичное отклонение)
Под геометрическими методами анализа подразумевают оценку плотности функции распределения RR интервалов гистограммным методом и её анализ. При построении гистограммы по оси абсцисс откладывают величины интервалов RR (в единицах времени), причем весь диапазон возможных значений разбивают на N непересекающихся промежутков (бинов). Каждому из бинов ставится в соответствие количество RR интервалов, попавших в этот промежуток. Эти количества откладывают по оси ординат (Рис. 3). Существуют определенные правила при выборе ширины бина. Дело в том, что количество RR интервалов, длина которых располагается в диапазоне [a, b), является случайной величиной, среднее и дисперсия которой определяется выражениями: E(x) = N × p, D(x) = N × p × (1 – p), гдеN – размер выборки, p – вероятность попадания RR интервала внутрь бина, которая зависит от истинной функции распределения и ширины бина. Если ширина бина выбрана слишком большой, то гистограмма получается грубой и не будет отражает деталей распределения, если слишком маленькой – возрастает случайная погрешность, и гистограмма становится трудно анализируемой. Рекомендуется выбирать ширину бина так, чтобы в каждый из бинов попадало не менее пяти RR интервалов (при этом не обязательно, чтобы все бины имели одинаковую ширину). Многие методики используют абсолютное количество RR интервалов в некотором бине (например, максимальное количество). В этом случае при описании результатов исследований необходимо специально указывать используемую ширину бина. Например, в методике Р.М.Баевского используется ширина бина 50 мс. Наиболее употребительные параметры гистограммы распределения (Рис. 3): мода (М) – наиболее часто встречающееся значение RR-интервала, соответствует максимуму гистограммы;амплитуда моды (АМ) – количество RR-интервалов, соответствующих моде (зависит от ширины бина);вариационный размах (ВР) – ширина гистограммы на определенном уровне (например, АМ/2), иногда ВР рассчитывают по основанию гистограммы после аппроксимации её треугольником;треугольный индекс (ТИ) – отношение общего количества RR-интервалов к амплитуде моды: ТИ=S (RR)/AM (зависит от ширины бина);индекс напряжения (ИН, по Баевскому) – отношение амплитуды моды к её значению: Гистограммы можно анализировать для участков наблюдения различной длительности. При анализе коротких (100 – 500 интервалов RR) записей выделяют несколько типов гистограмм:
При анализе длительных участков записи возможно получение гистограмм более сложной формы (как правило, многовершинных). Дополнением к гистограмме может служить скатерограмма – графическое изображение пар RR интервалов (предыдущего и текущего) на двумерной плоскости, отражающая зависимость пар последовательно идущих RR интервалов (Рис. 4). Для построении скатерограммы по оси абсцисс откладывают текущее значение RR интервалов, а по оси ординат – предыдущее (либо разницу между предыдущим и текущим). Скатерограмму анализируют визуально, либо применяют методы нелинейной динамики.
Спектральные методы анализа ритмограммы получили в настоящее время очень широкое распространение. Врачей привлекает наглядность метода, когда по 2–3 компонентам спектра можно сделать заключение о балансе активности симпатического и парасимпатического отделов вегетативной нервной системы. Применение спектрального анализа позволяет количественно оценить различные частотные составляющие колебаний ритма сердца. Обычно спектральная плотность мощности, полученная при анализе ВРС в течение короткого временного отрезка, включает в себя три основных участка: пик в диапазоне 0,15–0,40 Гц, соответствующий частоте дыхательных волн (высокочастотный, high frequency, HF), пик на частоте примерно 0,1 Гц, соответствующий так называемым медленным волнам первого порядка (МВ1, низкочастотный, low frequency, LF), и основная мощность спектра соответствует самым медленным колебаниям, называемым медленными волнами второго порядка (МВ2, очень низкочастотный диапазон, very low frequency, VLF). При длительной записи (24 часа) выделяют еще и ультранизкочастотный компонент – ultra-low frequency (ULF). Наиболее часто при анализе употребляются следующие показатели спектра мощности:
Мощность спектральных компонент измеряют двумя способами: в абсолютных величинах (мс2) либо в нормированных единицах (в процентах от общей мощности сигнала). Представление мощности LF и HF компонент в нормированных единицах позволяет подчеркнуть баланс между двумя ветвями периферической нервной системы, однако не отражает абсолютной степени вегетативных влияний на сердечный ритм, поэтому используют оба метода представления информации. Для стационарного эргодического случайного процесса x(t) спектральная плотность мощности определяется как средняя мощность за бесконечно большой промежуток времени:  где     В результате, имеется два способа вычисления спектральной плотности мощности: в первом случае рассчитывается спектр зарегистрированного участка сигнала, который затем возводится в квадрат, во втором – сначала рассчитывается автокорреляционная функция, к которой затем применяется преобразование Фурье. Последовательность RR интервалов является дискретным сигналом, поэтому вместо непрерывного преобразования Фурье необходимо использовать его дискретный аналог (ДПФ):  где RRn – исходная последовательность, N – размер выборки, Xk – дискретные отсчеты спектра. Для реальных сигналов, равномерно дискретизированных и зарегистрированных на участке [–Tс/2; Tс/2], расстояние между отсчетами дискретного спектра равно   ДПФ обладает всеми свойствами преобразования Фурье, поэтому для него также справедлива теорема Винера-Хинчина, согласно которой спектральную плотность мощности можно определить как ДПФ от корреляционной функции сигнала. Следует иметь в виду, что по конечной выборке можно провести только оценку истинного спектра мощности изучаемого процесса. Действительно, для сигнала s(t) известного на конечном отрезке времени [–T/2; T/2] спектр мощности можно рассчитать по формуле: это так называемый текущий спектр. Если теперь рассмотреть результат обратного преобразования Фурье от текущего спектра, то он будет совпадать с исходным сигналом на отрезке [–T/2; T/2], и равняться нулю вне этого отрезка, что может быть представлено как произведение исходного (бесконечного) сигнала на прямоугольное окно П(0,T):   Из свойств преобразования Фурье известно, что спектр произведения двух сигналов является сверткой их спектров, т.е. выборочный (текущий) спектр является сверткой истинного спектра случайного процесса и спектра прямоугольного окна:  Результатом такой свертки является бесконечное число медленно убывающих (со скоростью порядка 1/w ) боковых гармоник, называемых также боковыми лепестками .Рассмотрим проблему смещения выборочного спектра с точки зрения теоремы Винера-Хинчина. Оценка автокорреляционной функции   Тем не менее, при T → ∞, математическое ожидание оценки АКФ стремится к истинной автокорреляционной функции, т.е. оценка является асимптотически несмещенной. То же самое можно сказать и об оценке спектральной плотности мощности   К непараметрическим методам спектрального оценивания относятся различные варианты сглаживания выборочной СПМ. Выделяют периодограммный и коррелограммный методы. При периодограммном методе вычисляют выборочную СПМ, которую затем подвергают сглаживанию; при коррелограммном – сначала получают сглаженную оценку автокорреляционной функции, после чего при помощи преобразования Фурье вычисляют СПМ. Преимуществами непараметрических методов являются простота используемого алгоритма и высокая скорость обработки. Используют два основных приема: весовые окна для подавления боковых лепестков спектра и усреднение по нескольким выборкам для ослабления случайной погрешности. На практике необходимо использовать оба этих метода. Как было показано выше, выборочный спектр является сверткой истинного спектра и спектра прямоугольного окна. Скорость убывания спектра прямоугольного окна порядка 1/w , поэтому результирующий спектр получается “размытым” (сглаженным) по частоте. Оценку спектра можно улучшить, если использовать вместо прямоугольного другое окно с большей скоростью убывания спектра. Ниже дано несколько примеров подобных окон (здесь предполагается, что исходный сигнал задан на интервале [–T/2, T/2]), более подробно весовые окна рассмотрены в [2]. Платой за большую скорость убывания боковых лепестков является расширение центрального лепестка спектра окна, поэтому на практике необходимо выбирать компромисс между скоростью спада боковых лепестков и шириной центрального лепестка. 1) Треугольное окно - окно Бартлетта (Рис. 5):  2) Окно cos2 - окно Ханна:  3) Окно Хемминга - приподнятый косинус:   Коэффициенты окна Хемминга были выбраны из условия равенства нулю 2-ой (максимальной из боковых) гармоники спектра окна. 4) Окно Натолла:  Является результатом развития идеи Хемминга: коэффициенты выбираются из условия равенства нулю R ближайших боковых лепестков. Например, при R = 3 :a0 = 0,3635819; a2 = 0,1365995 a1 = 0,4891775; a3 = 0,0106411 5) Окно Гаусса (Рис. 6):  Это окно обладает наибольшей скоростью убывания боковых лепестков при ω → ∞. Коэффициент a обычно выбирается из диапазона [2…3] и позволяет регулировать ширину окна во временной области, и, следовательно, скорость убывания и ширину центрального лепестка спектра. 6) Окно Дольфа – Чебышева (равноволновое) Особенностью данного окна является равенство амплитуд всех боковых лепестков спектра окна, за счет чего достигается наибольшее подавление боковых лепестков при заданной ширине центрального лепестка, либо минимальная ширина основного лепестка при заданном уровне боковых лепестков. Это окно было сразу разработано для анализа дискретных сигналов, спектр которых обладает свойством периодичности. Непрерывный аналог данного окна не найден. Частотная характеристика фильтра, реализующего ВФ Дольфа- Чебышева, описывается формулой:  ,где fs— частота дискретизации, TN-1(z)— полином Чебышева первого рода (N-1)-го порядка, определяемый формулой: При заданной длине выборки N параметр z0 определяется исходя из заданного уровня боковых лепестков h:  На Рис. 7 показан вид весовой функции Дольфа–Чебышева и ее спектр. Амплитуда основного лепестка равна единице, амплитуды боковых лепестков равны h. Весовые коэффициенты ВФ Дольфа–Чебышева обычно определяют методом обратного дискретного преобразования Фурье от спектральной характеристики, однако их можно найти и непосредственно, если воспользоваться формулой По этой формуле находят коэффициенты а(n) для n от 0 до L, где L=N/2-1 при четном N и L=(N-1)/2 при нечетном N, при этом коэффициенты нумеруются от края. Остальные коэффициенты определяются из условия четной симметрии весовой функции. Полученные по данной формуле коэффициенты необходимо нормировать таким образом, чтобы их сумма равнялась единице. Из статистики известно [3], что при усреднении нескольких независимых случайных величин каждая из которых имеет дисперсию s, дисперсия среднего будет в  Необходимо отметить, что усреднять следует именно спектры мощности, поскольку фаза некоторой гармоники выборочного спектра является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале (0, 2p ), в то время как её амплитуда является неслучайной функцией частоты. Еще одно замечание касается независимости отдельных выборок. Вовсе не обязательно, чтобы выборки не перекрывались между собой, достаточно чтобы временной сдвиг между ними превышал интервал корреляции случайного процесса (см. п.7). Единственным недостатком усреднения по нескольким выборкам является необходимость получения длительной стационарной записи RR интервалов. На практике получение такой записи длительностью более 5 – 10 минут представляет серьезную проблему, а поскольку для улучшения статистических свойств оценки СПМ, исходную запись необходимо разбить как минимум на 4 участка, то побочным результатом такого разбиения будет уменьшение разрешающей способности спектра. Преимуществами параметрических методов являются: легко различимые сглаженные спектральные компоненты, легкая автоматическая постобработка спектра с распознаванием основной частоты для низкочастотной (LF) и высокочастотной (HF) компонент, приемлемая оценка спектра даже по короткой выборке (Рис. 8). Основные недостатки параметрических методов – сложность расчетных алгоритмов и необходимость проверки адекватности выбранной статистической модели [2]. Основной идеей параметрических методов является представление выборочной СПМ в виде суммы двух компонент: истинной СПМ изучаемого процесса и случайной составляющей, при этом наблюдаемая последовательность yi представляется в виде модели:  ,где ai, bi – константы, xi – случайные внешние воздействия с равномерной спектральной плотностью (белый шум). Первую сумму в выражении для yk обычно называют скользящим средним, а вторую – авторегрессией, поэтому такие модели получили название авторегрессии – скользящего среднего (АРСС). Иногда при расчетах используют только одну из сумм, тогда модель соответственно называют авторегрессионной (АР) либо скользящего среднего (СС), причем в [2] показано, что АР модель может быть сведена к СС модели бесконечного порядка, и наоборот. В конечном счете задача заключается в оценке тем или иным способом неизвестных констант N, M, ai, bi по известной выборке. Как правило, этот процесс является итеративным: выбираются некоторые значения N и M, и рассчитываются параметры модели. Затем, по ряду критериев проверяют качество полученной модели: разность между моделью и спектром исходного сигнала должна являться белым шумом, должны отсутствовать эффекты перепараметризации, и т.д. Затем изменяют N и M и повторяют процедуру до получения приемлемого результата [2]. На Рис. 8 представлен пример непараметрического и параметрической оценивания спектра одной и той же последовательности RR интервалов. Необходимо отметить, что АРСС модели являются статистическими моделями процесса, т.е. описывающими сигнал и практически не связанными с внутренней структурой объекта. Если при анализе вариабельности ритма сердца использовать какие-либо дополнительные сигналы (сигнал дыхания, сигнал капиллярного кровотока, миограмму сосудистой стенки, …) то можно оценить степень взаимосвязи различных биологических процессов, а также фазовые (временные) задержки между ними. Для этой цели и предназначен корреляционный анализ. Мерой связи двух случайных процессов во временной области является их взаимная корреляционная функция (называемая также кросскорреляционной):  Интервал, на котором кросскорреляционная функция отлична от нуля называют интервалом корреляции функций x и y. В частном случае, при x=y, получаем так называемую автокорреляционную функцию, отражающую взаимосвязи внутри сигнала. В статистике вместо корреляционной функции более часто используют нормированную кроссковариационную функцию, которая в случае дискретного сигнала рассчитывается по формуле: ,где 
 , где  , N– размер выборки.Значение r± указывает 5% доверительный интервал для r=0. Если вычисленный по выборке коэффициент ковариации находится внутри доверительного интервала, то его отличие от нуля не значимо. Аналогом корреляционной функции в спектральной области является функция когерентности:  ,где Pxx(f), Pyy(f)– спектры мощности случайных процессов x и y, а Pxy(f)– кросс-спектральная функция, определяемая как дискретно-временное преобразование Фурье от кросскорреляционной функции:   При расчете функции когерентности необходимо исходную запись разбить на несколько независимых участков, для каждого вычислить функцию Cxy(f) и результаты усреднить. Дело в том, что модуль функции когерентности, рассчитанной по отдельной выборке, всегда тождественно равен 1. Модуль функции когерентности лежит в диапазоне от 0 (для частот, на которых когерентность отсутствует) до 1 (каналы полностью когерентны). Если когерентность двух сигналов на какой-то частоте значима (|Cxy(f)|>0.5), то говорят, что два сигнала имеют на этой частоте фиксированные фазовые соотношения и могут рассматриваться как синхронизированные друг с другом. В этом случае фазовую задержку между двумя сигналами на частоте когерентности определяют как фазу функции Cxy(f). Для вычисления функции когерентности необходимо использовать усреднение по нескольким выборкам, в противном случае её модуль будет тождественно равен 1. При помощи описанных методов можно оценить взаимосвязь ритма сердца с каким-либо другим сигналом (например, объемом воздуха в легких). На Рис. 9 представлен пример подготовки данных для кроссковариационного анализа. Экспериментально регистрируют два сигнала: ЭКГ и спирограмму. В сигнале ЭКГ (А) определяют местоположения R–пиков и вычисляют расстояния между ними (RR1, RR2, …). На сигнале дыхания фиксируют значения, соответствующие положению R–пиков на ЭКГ (RS1, RS2, …). В результате получают две последовательности {RRi}, {RSi} (B), которые можно рассматривать как функции номера RR-интервала (С). Полученные функции и используются для последующего корреляционного анализа.
|
Мои публикации >
